[MATE] help x indovinello

[crono 80]

ho letto uno stralcio da un libro del racconto di Stanislav Lem intitolato "L'hotel straordinario, è il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo" e vorrei il vostro aiuto, se potete, a risolvere una domanda lasciata in sospeso dal racconto medesimo...

il racconto in estrema sintesi tratta dei vari problemi che devono risolvere i gestori di questo Hotel molto particolare: un Hotel con infinite stanze e composto da infiniti Hotel a catena, per riuscire a trovare posti liberi (anche quando ogni singola stanza è già occupata da infiniti ospiti) ad altri clienti provenienti dalla sconfinatezza del cosmo.

senza annoiare tutti andiamo al sodo.

1) arriva Ion per pernottare nell'Hotel dagli infiniti posti, ma questo è già al completo: ogni stanza è occupata. come fare a trovare un posto per il povero viaggiatore interstellare? Il direttore risolve la cosa facendo spostare l'ospite della stanza 1 nella stanza 2, l'ospite della stanza 2 nella stanza 3, e così in generale l'ospite n nella stanza n+1, e così fanno gli infiniti ospiti: ecco che la stanza 1 si è liberata e puo' trovare posto anche Ion.
La mattina seguente viene chiesto a Ion di spostarsi nella stanza 1.000.000: egli intuisce che sono arrivati nuovi 999.999 ospiti da chissà quale galassia.

2) il terzo giorno giunge una delegazione di rappresentanti filatelici di ogni galassia per alloggiare nell'Hotel.
il problema qui è che le galassie sono infinite e che quindi anche questa moltitudine di nuovi ospiti è infinita! Come trovare posti liberi per infinite persone? Daccordo l'hotel stesso è anche infinito, ma è già tutto occupato, e come poter trovare infiniti nuovi buchi in cui sistemare i filatelici?
la soluzione fu questa: spostare l'ospite 1 nella stanza 2, l'ospite 2 nella stanza 4, l'ospite 3 nella stanza 6, e piu' in generale l'ospite n nella stanza 2n: così si sarebbero liberate le stanze dispari e quindi un numero infinito di stanze e tutti gli infiniti nuovi ospiti avrebbero potuto alloggiare nelle stanze 1, 3, 5, e in generale 2n-1.

3) arriva il giorno della partenza di tutti gli ospiti delle stanze pari: ma il direttore si dispera! coem far a raggiungere le'quilibrio di bilancio se infinite stanze sono vuote! FU semplice: l'ospite 1 resto' nella stanza 1, l'ospite 3 occupo' la stanza vuota numero 2, l'ospite 5 la 4, l'ospite 7 la 5 e così via, scalarono e l'Hotel fu ancora pieno e il bilancio torno' in pareggio.

4) ma succede un imprevisto: si scopre che l'Hotel infinito è solo uno degli altri infiniti Hotel con infiniti posti a loro volta di una grande catena alberghiera. Ora il Governo impose di chiudere tutti gli altri infiniti Hotel e di rimettere il materiale con cui erano stati costruiti dove lo si era un tempo preso (il materiale rubato alle galassie stava per costruire quell'infinità di alberghi, stava infatti mettendo a rischio gli equilibri cosmici!).
Il problema era che tutti gli infiniti Hotel erano già pieni di persone: come fare quindi a trovare posto in un unico Hotel (quello dove alloggiava Ion) per un'infinità di serie infinite di persone?
Ovviamente si sarebbero dovuti creare infiniti posti vuoti per ogni serie infinita di abitanti dei vari Hotel da demolire (infiniti anche questi).
Si penso' allora alle progressioni geometriche: mettiamo gli ospiti del primo Hotel da demolire nelle stanze 2, 4,8,16,32 ecc; quelli del secondo hotel nelle stanze 3, 9,27, 81 ecc.. insomma mettiamo gli ospiti dell'hotel n nei posti individuati dalla progressione geometrica di base n del nostro hotel (unico che potrà restare aperto).
Ma subito si capi' che questo non era fattibile: quando si arriva all'hotel n. 3, usando la progressiona geometrica di base 4 troviamo che non si risolverebbe niente: il posto n. 4 dell'hotel di destinazione di fatti è già occupato dal secondo cliente dell'Hotel infinito n.1 ! Insomma nessuno garantisce (anzi si dimostra proprio il contrario!) che nessun numero sia ripetuto passando da una progressione geometrica all'altra.
Un'altro strategemma fu quindi di considerare solo i numeri delle varie serie che DI SICURO non potessero ripetersi: serviva considerare cio' i numeri primi, il cui modo di essere scomposti in potenze è UNICO.
Quindi si propose: hotel 1; posti 2,4,8... (progressione geometrica in base 2, tutti numeri pari)
                         hotel 2; posti 3,9,27,81 (progress. geom di base 3 che è numero primo!)
                        hotel 3; posti 5,25,125 (progress. geometrica in base 5, che è numero primo)
                       hotel n; posti occupati dalla progressione geom. in base n con n numero primo!

Cos' facendo non puo' succedere che qualche cliente sia stipato in un alloggio già occupato da qualcun altro: di fatti "nessuna potenza intera di un numero primo puo' equivalere a quella di un altro numero primo".
Il direttore ridusse anzi i numeri primi da usare limitandosi al 2 e  al 3: l'ospite m-esimo dell'hotel n-esimo avrebbe dovuto occupare la stanza di destinazione data da  (2^m) x (3^n).

Ma non fu la soluzione migliore... di fatti restavano vuote ora tutte le stanze il cui numero non poteva esprimersi nella forma (2^m) x (3^n). Si rischiava ancora di fare fallire i conti del bilancio dell'Hotel!

Per farla breve la soluzione ottimale fu quella di sfruttare la c.d. diagonalizzazione: si creo' una tabella (infinita per estensione in due direzioni) in cui nelle righe erano elencati i numeri degli hotel di provenienza e nelle colonne i numeri di stanza di provenienza. Ecco allora che questo specchietto quadrato avrebbe espresso tutti e soli gli infiniti posti che sarebbero dovuti trovarsi per dare spazio ad ogni ospite della stanza M del generico hotel N.
Come fare per disporre questa infinità di modo da essere sicuri che ogni ospite occupasse una ed una sola stanza dell'hotel di arrivo, senza peraltro lasciare  stanze vuote in detto hotel?
COn la diagonalizzazione ('nzomma v ricordate come s costruiva formalmente l'insieme Q a partire da N?...si prende a contare per serpente da sta bendetta tabella, cosi siam sicuri di prendere una sola volta ogni suo elemento e possiamo metterlo in corrisp. biunivoca (cioè uno a uno, senza "buchi" ) con gli elementi discreti dell'insieme N)
(x rinfrescarsi le idee vedere ad es. qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Numerabile   ).
In buona sostanza cosi si trovo' spazio per tutti ed ogni stanza era occupata con buona pace del contabile dell'Hotel.

5) Ora il racconto si chiude con questo indovinello:
Il gg dopo, si diede un rinfresco con gelato per tutti gli ospiti che furono alloggiati in un salone (infinito evidentemente). ma accadde il solito imprevisto: tutti gli ospiti delle stanze pari arrivarono in ritardo di un'ora: gli altri intanto si erano sistemati uno x uno sui posti consecutivi liberi, cosichè per i pari non s trovo' nessun posto libero! Si aspetto' quindi che gli occupanti si spostassero di un posto (per esempio liberando tutti i posti pari, e cioè che l'occupante della sedia n si fosse spostato in 2n-1) ... ma quando venne portata la razione di gelato accadde che ogni persona seduta (pari e dispari) avevano ora due razioni anzichè una! Uno sbilancio tale per i conti dell'albergo (dato ke si trattava sempre di infinite porzioni in piu' rispetto a quelle preventivate) fece sudare freddo il contabile...
l'autore a questo punto dice: "spero che a questo punto al lettore sia chiaro come questo (cioè che ora ogni persona ha due razioni di gelato anzichè una sola) possa essere accaduto"...

voi come lo spieghereste? :S

[Mirage]

...quando ho smaltito il vino provo a rileggere bene il tutto... 

[padi73]

non c'ho capito un cazzo 

per me il colpevole è il maggiordomo

[padi73]

Bè forse perchè trattandosi di numeri infiniti 2*∞ è sempre uguale a ∞ e non a 2∞ quindi raddoppiando le razioni raddoppiano anche le razioni per ciascuna persona.

[crono 80]

sul fatto che 2*infinito faccia infinito siam daccordo (parliamo in modo imprecisissimo x la verità, ma è x capirsi)

ma qui la questione è l'inverso: cioè ci sono pronte infinite porzioni per tutti gli infiniti astanti (i pari+ i dispari evidentemente).

ma capita che gli infiniti ospiti pari arrivino tardi e quelli dispari si siano seduti occupando tutti i posti del salone.

I dispari quindi (inifiniti e che hanno occupato tutti i posti infiniti della sala) debbono spostarsi (ogni ospite rappresentato dal numero n xesempio deve sloggiare al posto 2n-1).
I pari ritardatatri cosi potranno sedersi negli infiniti posti lasciati liberi e precisamente ogni pari rappresentato dal numero n si potrà sedere nel posto 2n.

Capita che le razioni di gelato (preparate precise una x ogni ospite (pari+dispari) ) qualora servite pero' risultino DUE per ogni ospite!

[percy]

non c'ho capito un cazzo 

per me il colpevole è il maggiordomo

 

Io non ci ho ancora provato a leggerlo "con cognizione di causa" ma quando ci sono di mezzo calcoli & affini non è cosa x me 

[padi73]

sul fatto che 2*infinito faccia infinito siam daccordo (parliamo in modo imprecisissimo x la verità, ma è x capirsi)

ma qui la questione è l'inverso: cioè ci sono pronte infinite porzioni per tutti gli infiniti astanti (i pari+ i dispari evidentemente).

ma capita che gli infiniti ospiti pari arrivino tardi e quelli dispari si siano seduti occupando tutti i posti del salone.

I dispari quindi (inifiniti e che hanno occupato tutti i posti infiniti della sala) debbono spostarsi (ogni ospite rappresentato dal numero n xesempio deve sloggiare al posto 2n-1).
I pari ritardatatri cosi potranno sedersi negli infiniti posti lasciati liberi e precisamente ogni pari rappresentato dal numero n si potrà sedere nel posto 2n.

Capita che le razioni di gelato (preparate precise una x ogni ospite (pari+dispari) ) qualora servite pero' risultino DUE per ogni ospite!

mmm
perchè i posti occupati alla fine sono sempre gli stessi (1, 2, 3, 4...n) mentre invece raddoppia il numero di persone e di porzioni.
può essere?

[crono 80]

mm m sa che c sei... azz m s sta accendendo l'illumination devo ragionarci su, su sta cosa.

edit:
riassumiamo: arrivano tutti i dispari (infiniti elementi) e s siedono uno dp l'altro nella sala.
se le porzioni erano corrette il n d posti = n. dei gelati (uno a testa) dato che a ogni posto va servito una porzione sola.

arrivano i pari: xfargli posto i dispari gia seduti devono cambiare posto cosi: 1->1 (resta dov'è), 2->3; 3->5; 4->7 ecc ecc (cioè n -> 2n-1 ).  cosi s possono sedere i pari. xkè s trovano due gelati (anzichè uno) x ogni astante... quindi? :S